TRIANGULOS EN ELEVACION Y
DEPRESIÓN
Los ángulos de elevación y
depresión en un triangulo rectángulo podemos comprenderlos mejor observando los
siguientes gráficos
ANGULO DE ELEVACIÓN:
ANGULO DE DEPRESIÓN:
Para la resolución de ejercicio haciendo uso de los ángulos de elevación y depresión tenemos las
siguientes herramientas:
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TEOREMA DE PITÁGORAS
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En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la
suma de loscuadrados de los catetos.
a2 + b2 =
c2
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Cada uno
de los sumandos, representa el área de un cuadrado de lado, a, b, c. Con lo
que la expresión anterior, en términos de áreas se expresa en la forma
siguiente:
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El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo
rectángulo, es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos
sobre los catetos.
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Teorema de
Pitágoras generalizado
Si en vez de
construir un cuadrado, sobre cada uno de los lados de un triángulo rectángulo,
construimos otra figura, ¿seguirá siendo cierto, que el área de la figura
construida sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de las figuras
semejantes construidas sobre los catetos?
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DEMOSTRACIONES
DEL TEOREMA DE PITÁGORAS
A lo largo
de la historia han sido muchas las demostraciones y pruebas que matemáticos y
amantes de las matemáticas han dado sobre este teorema. Se reproducen a
continuación algunas de las más conocidas.
DEMOSTRACIONES GEOMÉTRICAS
PITÁGORAS.
Una de las
demostraciones geométricas mas conocidas, es la que se muestra a
continuación, que suele atribuirse al propio Pitágoras.
A partir de la igualdad de los triángulos rectángulos es evidente la
igualdad
a2 + b2 =
c2
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PLATÓN.
La
relación que expresa el teorema de Pitágoras es especialmente intuitiva si se
aplica a un triángulo rectángulo e isósceles. Este problema lo trata
Platón en sus famosos diálogos.
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EUCLIDES.
La
relación entre los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo,
aparece ya en los Elementos de Euclides.
Elementos
de Euclides. Proposición I.47.
En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado que subtiende el
ángulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo
recto.
Para
demostrarlo, Euclides construye la figura que se representa a la derecha.
La prueba
que da Euclides consiste en demostrar la igualdad de las áreas representadas
en el mismo color.
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BHÂSKARA
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SEIS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
PARA UN TRIANGULO RECTÁNGULO:
Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo
Seno
El seno del
ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.
Se denota por sen B.
Coseno
El coseno del
ángulo B es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa.
Se denota por cos B.
Tangente
La tangente del
ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al ángulo.
Se denota por tg B.
Cosecante
La cosecante del
ángulo B es la razón inversa del seno de B.
Se denota por cosec B.
Secante
La secante del
ángulo B es la razón inversa del coseno de B.
Se denota por sec B.
Cotangente
La cotangente del
ángulo B es la razón inversa de la tangente de B.
Se denota por cotg B.
APLICACIÓN DEL ANGULO DE
ELEVACION Y DEPRESION
Ejercicio #1
Ejercicio #2
Ejercicio #3
Ejercicio #4
PARA DESARROLLAR
Ejercicio #5
Una escalera debe llegar hasta los 3 metros de
altura de una pared con una inclinación de 51º respecto al suelo. ¿Qué longitud
debe tener la escalera?
La figura la tienes a continuación:
Ejercicio #6
¿Cuánto vale el coseno de 60º?
Ejercicio #7
¿A qué
distancia de la costa se halla el barco del siguiente escenario?
Ejercicio #8
En la fotografia que ves a continuación
En la fotografia que ves a continuación
Tienes en la zona superior izquierda y desde lo alto
de una roca el ángulo de depresión, en azul claro, desde el punto
indicado hasta un punto de la orilla opuesta del río, equivalente a 51º.
Desde un saliente de una roca situada en la misma
vertical y 150 metros más abajo del lugar anterior, el ángulo de
inclinación, en color amarillo, hasta el punto anterior de la orilla del río es
de 47º.
Se desean conocer: la anchura del río y la altura
desde la superficie del río hasta la roca sobre la orilla izquierda donde se
hizo la primera medición.
